El estudio de la matemática comienza con los números;
primero los números naturales y los enteros y sus operaciones aritméticas, que
se clasificarían dentro del álgebra elemental. Las características más
avanzadas sobre números enteros se estudian dentro de la teoría de números. La búsqueda de métodos para resolver ecuaciones nos lleva al
campo del álgebra abstracta, que, entre otras cosas,
estudia polinomios, anillos y campos, estructuras que generalizan las
características de los números corrientes. Preguntas muy antiguas sobre construcciones
con regla y compás finalmente fueron resueltos usando la Teoría de Galois. El concepto físicamente
importante de los vectores, generalizado a espacios vectoriales, se estudia dentro
del álgebra lineal.
Cualequier conjunto de numeros reales se puede ordenar
en forma ascendente. La teoría del orden amplía esta idea a los sistemas en
general. Incluye nociones como retículos yestructuras algebraicas ordenadas.
Dado un conjunto, diversas maneras de combinar o de
relacionar a miembros de eso fijaron pueden ser definidas. Si éstos obedecen
ciertas reglas, entonces un detalle estructura algebraica se forma. Álgebra
universal es el estudio más formal de estas estructuras y sistemas.
La teoría del campo estudia las características de
campos. A campo es una entidad matemática para la cual la adición, la
substracción, la multiplicación y la división están bien definido. A polinómico
es una expresión en la cual se combinan las constantes y las variables usando
solamente la adición, la substracción, y la multiplicación.
En teoría de anillos (un rama del álgebra abstracta), un anillo conmutativo es un
anillo en el cual la operación de multiplicación obedece la ley de conmutatividad.
Esto significa que si a y b son elementos del anillo, entonces a×b=b×a. El
álgebra conmutativa estudia los anillos conmutativos y sus ideales, módulos y
álgebras. Es fundamental para la geometría algebraica y para la teoría de números algebraicos. Los
ejemplos más prominentes de anillos conmutativos son los anillos de polinomios.
16: Anillos sociables y álgebra sociables
17: anillos No-sociables y álgebra no-sociables
18: Teoría de la categoría; álgebra homological
19: K-teoría
20: Teoría del grupo y generalizaciones
22: Grupos topológicos, Grupos de mentira, y análisis
sobre ellos
(También grupos de la transformación, análisis
armónico abstracto)
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